Liczba do ujemnej potęgi czyli o minusie, który nie jest minusem sprawdź się! odwrotność 3 2 3 2 1 1 -3 -2 = = 1 2 1 3 2 = 3 3 = 1 8 1 9 = = 2 3 2 3 ZROBIONE 3 oblicz w pamięci:a) 12-2 do potęgi 2b) 7×(8-3)c) 48:(6×4)d) 25+4:2e) 65-6×(18-3 do potęgi 2+ 1)f) ( 6-3) do potęgi 2 +12:4 . Question from @juliazolkiewska09 - Matematyka Kalkulator dla dowolnych potęg dostępny jest tutaj . 2 = 2 = 3⋅ 3 = 9 3 · 3 = 9. Kwadrat liczby to wynik przemnożenia liczby przez siebie, a więc jest to potęga o wykładniku równym 2 (drugą potęgą liczby). Kwadrat liczby x x zapisuje się w postaci x2 x 2. Termin kwadrat nawiązuje do geometrii, ponieważ pole powierzchni kwadratu Przykład 2. 53. Podstawą tej potęgi jest 5, natomiast wykładnikiem jest 3. W wyniku tej potęgi otrzymaną liczbą jest 125, ponieważ 5⋅ 5⋅ 5 daje 125. Przykład 3. 37. Podstawa to 3, a wykładnik to 7. 37 można przedstawić również jako 3⋅3⋅ 3⋅ 3⋅3⋅ 3⋅ 3 , czyli 2 187. 37 równa się zatem Mam tu, powiedzmy, 2 do potęgi 3. Kusi was, by krzyknąć: „To 6!”, a ja odpowiem: „Wcale nie! To znaczy, że dwójkę trzeba pomnożyć przez siebie 3 razy”. Jest to więc równe 2 razy 2 razy 2. Czyli, razem… 2 razy 2 to 4… a 4 razy 2 równa się 8. A gdybym was spytał, ile to jest 3 do potęgi 2 (czyli do kwadratu)? Logarytmy 1.Oblicz: a) 2 do potęgi log2 7 b) 3do potęgi 1/ 2log3 16 c) 10 potęgi 2+log3 d) 5 do potęgi −1+2log5 4 f) 27 do potęgi log32 − 1/3 1. a)2do potęgi 3 +(-3)do potęgi 2 - 5 do potęgi 1 b)5 do potęgi 3 - 4 do potęgi 3 + 2do potęgi 5 c)(-2)do potęgi 4 - (-4) do potęgi 3 + 3 do potęgi 4 - (-2)do potęgi 6 d)16 * (1/2)do potęgi 4 + (-27)*(-2/3)do potegi 2. Question from @piter12345106 - Gimnazjum - Matematyka FoodSaver. The FoodSaver Vacuum Sealer VS3150 has a completely removable vacuum chamber with an integrated drip tray, which made thorough cleanup during testing easy, even if we wanted to clean it Potęgi i pierwiastki. Porównywanie liczb (2) Różne (7) Udowodnij (19) Uprość wyrażenie (29) Na skróty. Matura 2023; Matura 2022; Matura 2021; Matura 2020; Zadania maturalne; Egzamin 2023; Egzamin 2022; Egzamin 2021; Egzamin 2020; Egzamin ósmoklasisty; Egzamin gimnazjalny; Recenzje. Gimnazjum (5 ) Rozwiązanie zadania. Liczba 8 do potęgi logarytm o podstawie 2 z 9. Liczba 4 do potęgi 2 + logarytm o podstawie 4 z 7. Liczba 1/2 do potęgi EzqokAH. Mam pytanie czy 2 do potęgi (-1) to = 1/2 kdafb: Mam pytanie czy 2 do potęgi (−1) to = 1/2 (25/144) i to za nawiasem do potęgi 1/2 to = 12/5 (1/2) do potęgi 0 to= 1/2 czy 0 Z góry dziękuję za pomoc . 5 cze 17:43 Kejt: a0=1 25 25 5 ()12=√= 144 144 12 12 1 byłoby wtedy, gdyby było to do potęgi −5 2 5 cze 17:46 dziara:podstaw do tego wzoru 5 cze 17:48 kdafb: Czyli (1/2) do potęgi 0 =1 ? dziękuję Ci bardzo. 5 cze 17:51 Kejt: tak, każda liczba do potęgi zero to jeden 5 cze 17:52 kdafb: Dziękuję Wam. 5 cze 17:53 lolek: 2(−1+1)2−3 12 gru 19:08 Panel: Ile to 1 1/2 do potęgi 2 8 lut 13:32 8 lut 14:05 Najlepsza odpowiedź Możesz sobie wyobrazić x ^ y jako całą wiązkę jedynek pomnożonych razem, a następnie y kopii x wrzuconych na dokładkę: \ ldots \ cdot 1 \ cdot 1 \ cdot 1 \ cdot 1 \ cdot \ underbrace {x \ cdot x \ cdot \ ldots \ cdot x} \_ {\ text {y razy}} Jeśli ustawisz y na zero, wszystkie x „es znikną, a ty wrócisz z długim ciągiem jedynek pomnożonych razem. Co daje jeden. Tak więc 1 ^ 0 = 1 i 2 ^ 0 to także 1. Ale jeśli ustawisz y na jeden, zostanie ci cały długi ciąg jedynek i jeden x. I oto pocieranie . Jeśli x jest jednym, to jakby znika w tłumie innych. Nie będziesz w stanie dostrzec różnicy między istnieniem x a brakiem x, ponieważ x wygląda dokładnie tak samo jak wszystkie inne. Zatem 1 ^ 1 to znowu 1. Ale jeśli x nie jest równe jedynce, a pozostałe x nagle sprawia, że ​​wszystko wychodzi inaczej. Odpowiedź To samo pytanie pojawia się co kilka tygodni! Zamiast używać tylko liczby 2 , użyję zmiennej b , która obejmuje wszystkie liczby (poza 0) Traktuję to pytanie jako poważne, uczciwe pytanie, na które trzeba odpowiedzieć w sposób pomocny, bez próby oszukania czytelnika skomplikowaną matematyką wyższą. Zacznę od tego, co rozumiemy jako indeks , co oznacza. Przykład b ^ 3 OZNACZA b × b × b Następnie ustalę, jak połączyć indeksy, gdy pomnożone (dodając indeksów). Następnie ustalę, jak podzielić indeksy (odejmując indeksy). Ta „REGUŁA” najwyraźniej „odrywa się”, gdy indeks licznika jest mniejszy lub równy indeksowi mianownika. TU ma miejsce prawdziwe myślenie i wszystko opiera się na podstawowa logika . Ta demonstracja WYRAŹNIE pokazuje, dlaczego b ^ 0 = 1 (przypadek, w którym b = 0 nie jest omówiony i wymaga dużo więcej wyjaśnień) Na początku zdefiniujemy pojęcie potęgi. Potęga liczby $a$ o wykładniku $n$ nazywamy liczbę w postaci: $$a^{n} = \underbrace{a\cdot a\cdot a \cdot … \cdot a}_{n-razy}$$ gdzie: oraz $n$ jest liczbą naturalną większa od 0. Przykłady. $$5^{3} = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 25 \cdot 5 = 125$$$$2^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 4 \cdot 2 = 8$$$$4^{4} = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 16 =256$$ $$3^{2} = 3 \cdot 3 = 9$$$$13^{8} = 13 \cdot 13 \cdot 13 \cdot 13 \cdot 13 \cdot 13 \cdot 13 \cdot 13$$ Potęga o wykładniku wymiernym i całkowitym Teraz podamy wzory na potęgę o wykładniku wymiernym i całkowitym. Są to: $$a^{\color{blue}{-n}} = \frac{1}{a^{\color{blue}{n}}},\;\;\;\;\;a \neq 0, n\in \mathbb{N}$$$${a^{\frac{1}{\color{blue}n}} = \sqrt[\color{blue}n]{a},\;\;\;\;\;a \geq 0, n\in \mathbb{N}}$$ $${{{a^{\frac{\color{red}k}{\color{blue}n}} = (\sqrt[\color{blue}n]{a})^{\color{red}k},\;\;\;\;\;a \geq 0, n\in \mathbb{N},k\in \mathbb{Z_{+}}}}}$$ $$a^{\frac{-\color{red}{k}}{\color{blue}{n}}}=(\sqrt[\color{blue}{n}]{a})^{\color{red}{-k}}=\left(\frac{1}{\sqrt[\color{blue}{n}]{a}}\right)^{\color{red}{k}},\;\;\;\;\;a > 0, n\in \mathbb{N},k\in \mathbb{Z_{+}}$$ gdzie: $\mathbb{Z_{+}}$ – zbiór liczb całkowitych dodatnich. Przykład I. $\left(ad.~a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}\right)$ $$3^{-1}=\frac{1}{3}$$ $$\left(\frac{5}{7}\right)^{-4} = \left(\frac{7}{5}\right)^{4} = \frac{7^{4}}{5^{4}}$$ Przykład II. $\left(ad.~a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}\right)$ $$3^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{3}$$ $$8^{\frac{1}{2}} = \sqrt{8}$$ $$\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$$ Przykład III. $\left(ad.~a^{\frac{k}{n}} = (\sqrt[n]{a})^{k}\right)$ $$2^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{2})^{3}$$ $$4^{\frac{3}{4}} = (\sqrt[4]{4})^{3}$$ Przykład IV. $\left(ad.~a^{\frac{-k}{n}}=(\sqrt[n]{a})^{-k}=\left(\frac{1}{\sqrt[n]{a}}\right)^{k}\right)$ $$2^{\frac{-3}{2}} = (\sqrt{2})^{-3}=\frac{1}{(\sqrt{2})^{3}}$$ Potęgą liczby $a$ o wykładniku zerowym jest liczba: $$a^{0} = 1$$. Przykłady. $$147^{0}=1$$ $$2^{0}=1$$ $$15^{0}=1$$ Działania na potęgach Niech $m,n$ będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Jeśli $a > 0$ i $ b > 0$, to zachodzą równości: $${{a}^{\color{blue}m} \cdot {a}^{\color{red}n} = {a}^{\color{blue}m+\color{red}n}}$$ $${\frac{{a}^{\color{blue}m}}{{a}^{\color{red}n}}={a}^{\color{blue}m-\color{red}n}}$$ $${a}^{\color{red}{n}} \cdot {{b}}^{\color{red}{n}} = \left({{a}}{{b}}\right)^{\color{red}{n}}$$ $$\frac{{a}^{\color{red}{n}}}{{{b}}^{\color{red}{n}}}=\left(\frac{{a}}{{{b}}}\right)^{\color{red}{n}}$$ $$({a}^{\color{blue}m})^{\color{red}n}={a}^{\color{blue}m\cdot \color{red} n}$$ $$({a}^{\color{blue}m})^{\color{red}n}=({a}^{\color{blue}m})^{\color{red}n}=({a}^{\color{red}n})^{\color{blue} m}$$ Powyższe wzory na działania na potęgach o wykładniku wymiernym i całkowitym znajdują się na kartach wzorów maturalnych. Przykłady. Przykład I. $\left(ad.~a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}\right)$ $$5^{3} \cdot 5^{4} = 5^{3+4} = 5^{7}$$co można pokazać również bez użycia wzoru:$$\underbrace{{\underbrace{{5\cdot5\cdot5}}_{3~razy}}\underbrace{{\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5}}_{4~razy}}_{7~ razy~(3+4)}=5^{7}$$ $$5^{9} \cdot 5^{17} = 5^{9+17} = 5^{26}$$ $$\left(\frac{1}{2}\right)^{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{3} = \left(\frac{1}{2}\right)^{5}$$ Przykład II. $\left(ad.~\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}\right)$ $$3^{6} \div 3^{2} = 3^{6-2} = 3^{4}$$bo:$$\frac{\overbrace{3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3}^{6~razy}}{\underbrace{3\cdot3}_{2~razy}}=\underbrace{3\cdot3\cdot3\cdot3}_{4~razy}$$ $$\frac{5^{7}}{5^{3}} = 5^{7-3} = 5^{4}$$ $$\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{10}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{4}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{10-4}=\left(\frac{1}{2}\right)^{6}=\frac{1^{6}}{2^{6}}=\frac{1}{2^{6}}$$ $$\frac{10^{100}}{10^{300}} = 10^{100-300} = 10^{-200} = \left(\frac{1}{10}\right)^{200}$$ Przykład III. $\left(ad.~a^{n} \cdot b^{n} = \left(ab\right)^{n}\right)$ $$3^{2} \cdot 5^{2} = (3\cdot5)^{2} = 15^{2}$$$$3\cdot3\cdot5\cdot5 = \underbrace{(3\cdot5)\cdot(3\cdot5)}_{2~razy}=15\cdot 15=15^2$$ $$5^{7}\cdot 6^{7}= (5\cdot 6)^{7} = 30^{7}$$ $$\left(\frac{1}{2}\right)^{100} \cdot 8^{100}= \left(\frac{1}{2}\cdot 8\right)^{100} = 4^{100}$$ Przykład IV. $\left(ad.~\frac{a^{n}}{b^{n}}=\left(\frac{a}{b}\right)^{n}\right)$ $$\frac{4^{4}}{5^{4}} = \left(\frac{4}{5}\right)^{4}$$$$\frac{8^{4}}{4^{4}} = \left(\frac{8}{4}\right)^{4}=2^{4}$$$$\frac{17^{8}}{4^{8}} = \left(\frac{17}{4}\right)^{8}$$$$\left(\frac{1}{3}\right)^{3} = \frac{1^{3}}{3^{3}}=\frac{1}{27}$$ Przykład V. $\left(ad.~(a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}\right)$ $$(2^{3})^{2} = 2^{3\cdot2} = 2^{6}$$co rozpisując potęgi możemy zapisać następująco:$$\underbrace{\underbrace{(2\cdot2\cdot2)}_{3~razy}\cdot\underbrace{(2\cdot2\cdot2)}_{3~razy}}_{6~razy}$$ $$(6^{11})^{5} = 6^{11\cdot5}=6^{55}$$ $$(3^{\frac{1}{2}})^{8} = 3^{\frac{1}{2}\cdot8} = 3^{4}$$ $$(2^{\sqrt{2}})^{\sqrt{5}} = 2^{\sqrt{2}\cdot\sqrt{5}} = 2^{\sqrt{10}}$$ Matura z matematyki? Oferujemy SuperKorepetycje - korki online połączone z przejrzyście zrozumiałymi filmikami do nauki własnej Zobacz więcej Zadania Zadanie 1. Oblicz wartość wyrażenia $\left(\frac{2^{6}}{2^{3}}\right)^{3}$ Skorzystamy ze wzorów: $$(a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}$$$$\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$$ Zatem: $$\left(\frac{2^{6}}{2^{3}}\right)^{3} \stackrel{1}{=} \frac{2^{6\cdot 3}}{2^{3\cdot 3}}\ = \frac{2^{18}}{2^{9}} \stackrel{2}{=} 2^{18-9} = 2^{9}$$ gdzie: $1$ – pierwszy wzór zadania 1, $2$ – drugi wzór zadania 1. Zadanie 2. Zapisz liczbę w postaci potęgi 2 liczbę: $\sqrt{8}\cdot \sqrt{16}$. Skorzystamy ze wzorów: $$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$$$$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$$ Zatem: $$\sqrt{8}\cdot \sqrt{16} = \sqrt{8\cdot 16} \stackrel{1}{=} \sqrt{2^{3}\cdot 2^{4}} = \sqrt{2^{3+4}} = \sqrt{2^{7}} \stackrel{2}{=} 2^{\frac{7}{2}}$$ $1$ – pierwszy wzór zadania 2, $2$ – drugi wzór zadania 2. Zadanie 3. Oblicz $\frac{81^{2}\cdot16^{3}\cdot12}{8^{3}\cdot27^{3}\cdot72}$ Zamieńmy liczby w ułamek na potęgi o podstawie 2 i 3 oraz rozłóżmy liczby 12 i 72 na czynniki pierwsze, tzn.: $$\frac{81^{2}\cdot16^{3}\cdot12}{8^{3}\cdot27^{3}\cdot72} = \frac{(3^{4})^{2}\cdot(2^{4})^{3}\cdot12}{(2^{3})^{3}\cdot(3^{3})^{3}\cdot72} = \frac{3^{8}\cdot2^{12}\cdot2\cdot2\cdot3}{2^{9}\cdot3^{9}\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3} = \frac{3^{8+1}\cdot2^{12+2}}{2^{9+3}\cdot3^{9+2}}=$$ $$=\frac{3^{9}\cdot2^{14}}{2^{12}\cdot3^{11}}=3^{9-11}\cdot2^{14-12} = 3^{-2}\cdot2^{2} = \left(\frac{1}{3}\right)^{2}\cdot2^{2} = \left(\frac{2}{3}\right)^{2} = \frac{4}{9}$$ Zadanie 4. Ustaw liczby w kolejności rosnącej: $-2^{4},~\left(-\frac{1}{2}\right)^{5},~(-2)^{5}$ $\left(\frac{1}{2}\right)^{2},~\left(\frac{1}{2}\right)^{6},~\left(\frac{1}{2}\right)^{3}$ Zauważ, że w pierwszym przykładzie, dla $-2^{4}$ mamy $-16$ zamiast $16$. Dlaczego? Ponieważ zgodnie z kolejnością wykonywania działań, najpierw potęgujemy liczbę $2^{4}$, a potem mnożymy przez $-1$, więc: $-2^{4} = -\left(2\cdot2\cdot2\cdot2\right)= -1 \cdot 16= -16$. Gdybyśmy mieli nawias, tj. $(-2)^{4}$, to najpierw wykonujemy działanie w nawiasie (mnożenie razy -1). Inaczej mówiąc, do potęgi podnosimy liczbę $-2$, tzn.: $(-2)^{4}~$=$~(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)~$=$~4\cdot4~$=$~16$. Oczywiście, gdy liczba ujemna jest podnoszona do nieparzystej potęgi, to wynik również jest ujemny, a więc ${(-2)}^{5}~$=$~(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)~$=$4\cdot4\cdot(-2)$=$~-32$. Mamy zatem: $$-2^{4} =-16,$$ $$\left(-\frac{1}{2}\right)^{5}=-\frac{1^5}{2^{5}}=-\frac{1}{32},$$ $$~(-2)^{5}=-32$$ Wobec tego mamy: $$(-2)^{5}~<~-2^{4}~<~\left(-\frac{1}{2}\right)^{5}$$ W następnym przykładzie zamieńmy najpierw ułamki na liczby, korzystając ze wzoru $a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}$, czyli: $$\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=2^{-2},~\left(\frac{1}{2}\right)^{6}=2^{-6},~\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=2^{-3}$$ porządkując potęgi o takich samych podstawach będziemy kierowali się wykładnikiem potęgi. Im większy wykładnik – tym większa liczba. U nas wykładniki to $-2, -6~$ i $-3$, zatem w kolejności od najmniejszej do największej: $$2^{-6}~<~2^{-3}~<~2^{-2}.$$ Zadanie 5. Oblicz wartość wyrażenia: $(-2)^{4}+(1\frac{1}{3})^{2} – 3^{0}$ $-3^{4} + (-3)^{2} – (2\frac{1}{2})^{3}$ W zadaniu 4. było wyjaśnione, dlaczego liczba $-2^{4}=-16$. W tym przypadku mamy liczbę $-3^{4}$ i wynosi ona $-81$. Zatem:$$(-2)^{4}+\left(1\frac{1}{3}\right)^{2} – 3^{0} = 16 + \left(\frac{4}{3}\right)^{2}-1 = 16+\frac{16}{9}-1 =$$$$=\frac{144}{9}+\frac{16}{9}-\frac{9}{9}=\frac{144+16-9}{9}=\frac{151}{9}=16\frac{7}{9}$$ $$-3^{4} + (-3)^{2} – \left(2\frac{1}{2}\right)^{3}=-81+9-\left(\frac{5}{2}\right)^{3} = -72-\frac{125}{8} =$$$$= -\frac{576}{8} – \frac{125}{8} = \frac{-576-125}{8} = \frac{-701}{8} = 87\frac{5}{8}$$ 7tacHu Użytkownik Posty: 15 Rejestracja: 22 lis 2007, o 20:36 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Rawicz Podziękował: 5 razy Przekształcenie potęgi o wykładniku -1/2 \(\displaystyle{ 2 ^{-1/2}}\) = Jak to przekształcić? Proszę o pomoc Może i proste pytanie, ale taki temat nie jest regulaminowy (poprawiony) polskimisiek Ostatnio zmieniony 29 lis 2007, o 21:55 przez 7tacHu, łącznie zmieniany 1 raz. natkoza Użytkownik Posty: 2278 Rejestracja: 11 kwie 2007, o 18:49 Płeć: Kobieta Lokalizacja: Dąbrowa Górnicza Podziękował: 41 razy Pomógł: 602 razy Przekształcenie potęgi o wykładniku -1/2 Post autor: natkoza » 29 lis 2007, o 21:41 \(\displaystyle{ 2^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\) smigol Użytkownik Posty: 3454 Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Warszawa Podziękował: 89 razy Pomógł: 353 razy Przekształcenie potęgi o wykładniku -1/2 Post autor: smigol » 29 lis 2007, o 21:43 2 ^{-1/2} = Jak to przekształcić? Proszę o pomoc \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt[2]{2} }}\) edit: natkoza szybsza;p 7tacHu Użytkownik Posty: 15 Rejestracja: 22 lis 2007, o 20:36 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Rawicz Podziękował: 5 razy Przekształcenie potęgi o wykładniku -1/2 Post autor: 7tacHu » 29 lis 2007, o 21:51 Thx, a mam jeszcze jedno pytanko: \(\displaystyle{ 2 ^{1/2}}\) = \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) tak po prostu czy można to zapisać jakoś algebraicznie? natkoza Użytkownik Posty: 2278 Rejestracja: 11 kwie 2007, o 18:49 Płeć: Kobieta Lokalizacja: Dąbrowa Górnicza Podziękował: 41 razy Pomógł: 602 razy Przekształcenie potęgi o wykładniku -1/2 Post autor: natkoza » 29 lis 2007, o 21:56 raczej tak poprostu, bo \(\displaystyle{ a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}}\) jedna z własności potęgi o wykładniku wymiernym Piotr Rutkowski Użytkownik Posty: 2234 Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Warszawa Podziękował: 22 razy Pomógł: 389 razy Przekształcenie potęgi o wykładniku -1/2 Post autor: Piotr Rutkowski » 29 lis 2007, o 21:56 Tutaj nie ma co kombinować z definicji pierwiastka \(\displaystyle{ \sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}}\)